Автор: Дудченко Оксана Дмитриевна
Должность: преподаватель
Учебное заведение: СПб ГБПОУ «АПТ»
Населённый пункт: г. Колпино, г. Санкт-Петербург
Наименование материала: Конспект лекций
Тема: "Комплексные числа. Действия над комплексными числами."
Раздел: среднее профессиональное
Комплексные числа.
Действия над
комплексными числами.
Конспект лекций
1
Дудченко О.Д.
СПб ГБПОУ «АПТ»
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Иррациональные числа
Действительные числа -
это объединение рациональных и иррациональных чисел.
Название
“мнимые числа”
ввёл французский
математик и философ
Р. Декарт
в 1637
году
8
Мнимая единица
Вычислите:
4
1
−
900
−
81
−
10
Пример. Решите уравнение
:
x
2
– 6x + 13 = 0
Решение.
Найдем дискриминант по формуле
D = b
2
– 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
4i
1
16
1)
(
16
16
D
=
−
=
−
=
−
=
11
2
4i
6
x
1
−
=
2
4i
6
x
2
+
=
Решите уравнения:
9
𝑥
2
+ 12 + 29 = 0
𝑥
𝑥
2
− 4 + 13 = 0
𝑥
𝑥
2
+ 3 + 4 = 0
𝑥
13
a)
б)
в)
Степени мнимой единицы
15
;
1
)
1
(
;
1
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
2
=
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
2
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
1
;
1
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
1
)
1
(
;
1
2
5
6
4
5
3
4
2
3
2
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
1
i
i
=
1
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
2
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
2
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
;
1
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
;
1
)
1
(
;
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
2
3
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
1
;
)
1
(
;
1
;
1
1
)
1
(
7
8
6
7
2
5
6
4
5
2
3
4
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
16
Значения степеней повторяются с
периодом, равным 4.
Найдите:
𝑖
24
;
𝑖
31
;
𝑖
234
.
1.
Если показатель степени делится на 4 без
остатка, то значение равно 1.
2.
Если показатель степени делится на 4 с
остатком 1, то значение равно i.
3.
Если показатель степени делится на 4 с
остатком 2, то значение равно -1.
4.
Если показатель степени делится на 4 с
остатком 3, то значение равно -i
.
18
Решение.
i ,– 1, – i , 1 ,
i, – 1, – i, 1
и т. д.
Имеем
,
24 = 4×6
(нет остатка)
;
31 = 4×7 + 3 ;
234 = 4×58 + 2 .
Соответственно получим
𝑖
24
= 1;
𝑖
31
= − ;
𝑖 𝑖
235
= −1.
19
Выберите верный ответ:
66
i
143
i
216
i
44
48
43
i
i
i
+
+
32
15
14
13
)
(
i
i
i
i
+
+
-1
-i
1
2-i
20
Комплексные числа
Определение: Числа вида
a + bi,
где
a
и
b
– действительные числа,
i
– мнимая единица,
называются
комплексными.
a -
действительная часть комплексного числа,
bi –
мнимая часть комплексного числа,
b –
коэффициентом при мнимой части.
Обозначение -
z
21
a + bi = c + di,
если
a = c
и
b = d.
Свойство:
Два комплексных числа называются равными,
если равны их действительные части и
коэффициенты при мнимой единице.
23
Найти x и y из равенства
:
3y + 5хi = 15 – 7i
Решение:
Приравняем действительные и мнимые части,
получим:
3y = 15 ; 5х = - 7
y = 5 ;
х = - 7/5
Решите уравнения самостоятельно
:
а) 7x + 5i = 1 – 10iy
б) 5х + 3iy = 25 – 12i
в) 7х – 2i = 9 + 5iy
х = 1/7 y = -1/2
х = 5 y = -4
х = 9/7 y = - 2/5
24
Действия над
комплексными числами.
25
(а+b
i
)
Вычитание
=(a+c)
+
(c+d
i
)
Сложение
(b+d)
+
i
(а+b
i
)
-
(c+d
i
)
=(a-c)
+ (b-d)
i
26
Выполните действия
:
z
1
= -6 + 3i, z
2
= 5 – 4i.
Найти: а) z
1
+ z
2
;
б) z
1
– z
2
;
а) z
1
+ z
2
=(-6 + 3i) + (5 – 4i) =
=(-6 + 5) + (3i – 4i) = -1 – i;
б) z
1
– z
2
=(-6 + 3i) – (5 – 4i) =
=(-6 – 5) + (3i + 4i) = – 11 + 7i;
Решение.
27
Умножение
(c+d
i
)
= ac
bс
i
=
+
+
+
аd
bd
(а+b
i
)
i
i
2
30
Учитывая
i
2
=-1
Выполните действия:
(2 + 3i)(2 – 3i)=
(-6 + 3i)(5 – 4i)
(2 – 5i)
2
=
=
=
(-30+24i + 15i-12i
2
)
=
-30+39i-12
31
-42+39i
Учитывая
i
2
=-1
=
=
Два комплексных числа называются
сопряженными, если они отличаются друг от
друга только знаками перед мнимой частью.
z
1
= a+bi
и
z
2
=a-bi
Например:
z
1
= 2+3i
и
z
2
=2-3i
32
Деление комплексных чисел.
Чтобы выполнить деление, необходимо
умножить делимое и делитель на число
сопряжённое делителю.
33
Деление
−6 + 3
𝑖
5 − 4
𝑖
(−6 + 3 )
(5 + 4 )
⋅
𝑖
𝑖
(5 − 4 )
(5 + 4 )
𝑖
⋅
𝑖
−42 − 9
𝑖
41
−
42
41
−
9
41
𝑖
=
=
=
34
Выполните действия:
1. (3 − 2 )
(7 −
⋅
𝑖
)
𝑖
2
)
3
2
.(
2
i
+
)
5
2
)(
5
2
.(
3
i
i
−
+
i
i
6
2
5
3
.
4
+
+
36
i
i
5
1
2
3
.
5
−
+
2
)
7
2
.(
6
i
−
)
3
1
)(
3
1
.(
7
i
i
+
−