1

Актуальность этой работы очевидна.

Особенность геометрии, выделяющая ее не только среди остальных частей

математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика

соединена с наглядным представлением.

Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и

строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга. В подходе

есть все, что любимо геометрией: лаконичность, наглядность, возможность домысливать,

испытывать радость открытия.

Задачи.

Задача 1. В треугольнике АВС через точку пересечения биссектрис I проведен

K N

||

ВС .

Доказать, что

K N= С К +NB.

Комментарий: выделив на чертеже части биссектрис (рис. б) CI и BI видим, что

CK=KI, а IN=BN.

Задача 2. М – точка пересечения биссектрис в треугольнике АВС со стороной

ВС=а, МK || AB, MN || AC. Найти периметр треугольника MKN.

2

Комментарий: MN ǁ AB =>

ACM =

CMN => CN = NM. Аналогично, KM =

KB.

Задача 3. Точки M и N – соответственно середины сторон АС и АВ треугольника

АВС. Известно, что точки С, М, N и В лежат на окружности. Определить вид треугольника

АВС.

Комментарий: MN – средняя линия ΔАВС => MN || ВС =>

MNB +

CBN =

180° =>

МСВ =

CBN. Вывод: треугольник АВС равнобедренный.

Задача 4.

3

В треугольнике АВС со стороной ВС = а медианы BE и CF взаимно

перпендикулярны. Найти длину медианы AD.

Комментарий: т.к. ΔАВС

прямоугольный,

MD –

его медиана. То

MD =

1

2

а.

Вывод AD=

3

2

а.

Задача 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и в этой

точке делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Комментарий: КМ – средняя линия треугольника АВС (рис. а). Поэтому ΔKMN

подобен ΔАМС,

причем KN:AC=1:2. Следовательно, AM:MN=CM:MK=2:1. Аналогично,

по (рис.б) определим, что BE пройдет через туже точку М. Т.к. ВМ:МЕ=СМ:МК=2:1.

4

Задача 6. Пусть К - произвольная точка внутри треугольника АВС. Р и Q - точки

пересечения медиан соответственно в треугольниках АКС и АКВ. Найти PQ, если

известно, что ВС = а.

Комментарий: Пусть (рис. б) М и N середины сторон соответственно АВ и АС.

Соединим точки М и N,

тогда PQ будет средней линией ΔRMN,

a MN – средняя

линия

ΔАВС.

Поэтому MN

=

1

2

a.

Т. к . PK:KM=QK:KN= 2 : 3 , т о PQ:MN=2:3.

Следовательно, PQ=

1

3

а.

Задача 7. В остроугольном ΔАВС проведены высоты AD,

BE и CF. Найти углы

ΔDEF зная углы ΔАВС.

5

Комментарий: на рисунке б) видим, что из подобия прямоугольных треугольников

ВСЕ и ADC следует, что СЕ : СВ = CD : СА. Т.е. ΔСОЕ подобен ΔАВС и, значит,

DEC =

В, a

EDC =

А. Проделав аналогичную работу относительно двух

других вершин, получаем:

FDE=

180°–

2

A ,

DFE=

1 8 0 ° – 2

C и

DEF = 180° – 2

B .

Задача 8. На плоскости задана окружность и хорда АВ, С – произвольная точка

этой окружности, М – точка пересечения медиан ДАВС. Найти геометрическое место

точек М.

Комментарий: Точка М будет лежать на отрезке соединяющим точку С с серединой

хорды АВ, которую мы обозначим – Р. Т.к. медианы в точке пересечения делятся в

отношении 2:1, начиная от вершины (в нашем случае от точки С), то мы получаем

6

гомотетию точек окружности с центром гомотетии в точке Р. При гомотетии окружность

переводится в окружность, радиус новой окружности, как не трудно догадаться, будет в

три раза меньше радиуса данной окружности. Центр новой окружности - О' будет

располагаться на отрезке РО так, что РО':

О ' О = 1 : 2 .

Задача

9.

Дан угол АОВ и точка С внутри его. Найти на стороне ОВ точку,

равноудаленную от точки С и стороны ОА.

Выберем на стороне ОВ произвольную т. D, проведем луч ОС. Из т. D проведем

перпендикуляр к стороне ОА. С центром в т. D радиусом DН проведем окружность, точки

7

пересечения окружности с лучом ОС (обозначим M и N), получим треугольник HND. Из т.

С проведем CD

1

ǁ DN

1

и D

1

H

1

ǁ DH. Точка D

1

искомая.

Заключение

Применение метода визуализации в процессе решения геометрических задач

способствует развитию умения решать математические задачи, способствует более

качественному и полному усвоению знаний, способствует развитию и поддержанию

интереса к предмету – геометрия. Использование метода визуализации развивает, образное

мышление, способствует развитию абстрактного мышления, развитию различных форм

деятельности.

Список используемой литературы

1.

Резник Н.А. «Развитие визуального мышления на уроках математики».

2.

Газета «1 сентября» Математика. 2008 г. №18 Филипповский Г. «Смотри» -

педагогика Бхаскары.

3.

Саранцев Г.И. «Эстетическая мотивация в обучении математики».

4.

Погорелом А.В. «Геометрия» 7-11 класс.