Литвиненко Елена Анатольевна

преподаватель математики

Критерии отбора содержания дополнительного образования

по математике в колледже

ДОгМ ГБПОУ КАИТ №20

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из

важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в

области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в

различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей

математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в

теории

приближенных

вычислений

используются

понятия

абсолютной

и

относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии

изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом

анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях

таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи,

связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических

олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Программой школьного курса математики и программой дисциплины

«Математика»

в

системе

СПО

не

предусмотрены

обобщение

и

систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за

весь

период

обучения.

Поэтому

тема

«Решение

уравнений

с

модулем»

является сквозной на протяжении всего курса математики в колледже ;это

позволит

студентам систематизировать,

расширить

и

укрепить

знания,

связанные

с

абсолютной

величиной,

подготовиться

для

дальнейшего

изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные

задачи

различной

сложности,

способствует

выработке

и

закреплению

навыков

работы

на

компьютере,

использования

возможностей

интернета

Задачи,

связанные

с

абсолютной

величиной,

часто

встречаются

на

математических

олимпиадах,

выпускных

экзаменах,

на

центральном

тестировании и ЕГЭ.

С понятием модуля действительного числа учащиеся знакомятся еще в

6 классе при изучении темы «Рациональные числа», в 7 классе - в теме

«Решение линейных уравнений», в 8 классе - в теме «Квадратный корень из

степени», в 9 классе встречается только в заданиях повышенного уровня. К

сожалению, в программах общеобразовательных школ и

программах по

общеобразовательной дисциплине «Математика» в колледжах данная тема не

рассматривается ни в одном

учебнике отдельным параграфом. В учебной

программе

по

данной

дисциплине

в

системе

СПО

не

предусмотрено

обобщение и систематизация знаний о модулях и их свойствах, полученных

обучающимися за весь период обучения. Из-за снижения количества часов

математики

учителю

не

хватает

времени

на

рассмотрение

уравнений

и

неравенств, содержащих знак абсолютной величины.

Возможность

решения

уравнений

и

неравенств,

содержащих

неизвестные под знаком модуля, имеют только учащиеся классов или школ с

углубленным изучением математики.

На

протяжении

своей

работы

в

колледже,

я

являюсь

свидетелем

проблемы, которая связана с ошибками, которые допускают обучающиеся в

жоде

решения

уравнений,

содержащих

модуль

(данные

уравнения

встречаются

в

каждой

работе,

которые

являются

контрольными

срезами,

предоставленными

методистами

Департамента

Образования,

учебно

-

методического центра. И как каждый учитель, болеющий душой за своих

обучающихся, думает, каким образом решить эту проблему. Мы имеем право

корректировать

учебную

программу,

не

выходя

за

рамки

выполнения

требований, предусмотренных ФГОС СПО.

Поэтому все выше изложенное обозначило проблему исследования:

расширить, обобщить и систематизировать знания обучающихся

первого

курса

колледжа

по

теме

«Абсолютная

величина». Учителю

необходимо

находить

разнообразные

методические

приемы,

использовать

различные

подходы

и

методы

в

обучении

решению

задач

с

модулем.

Разнообразие

методов

будет

способствовать

сознательному

усвоению

математических

знаний,

вовлечению

обучающихся

в

творческую

деятельность,

а

также

решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе

обучения,

в

частности,

реализации

внутрипредметных

связей

(алгебра-

геометрия),

расширению

области

использования

графиков,

повышению

графической

культуры

обучающихся,

формирует

умение

и

навыки

исследовательской работы, способствует развитию познавательного интереса

к математике

Решение уравнений с модулем включено нами в рабочую программу, в

частности, в практические работы по «Математике» в каждом разделе.

Мотивирующий

момент.

Слово

«модуль»

произошло

от

латинского

слова

«modulus»,

что

в

переводе

означает

«мера».

Это

многозначное

слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только

в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и

других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для

данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных

соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не

имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных

коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и.

т.п.

Модуль

объемного

сжатия(

в

физике)

-

отношение

нормального

напряжения в материале к относительному удлинению.

А теперь вернемся к урокам математики.

Чтобы

глубоко

изучать

данную

тему,

необходимо

познакомиться

с

простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Рассмотрим методы решения некоторых уравнений с модулем.

1. Напомним основные понятия, используемые в данной теме.

Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее

переменную. Корнями

уравнения

называются

значения

переменной,

при

которых

уравнение

обращается

в

верное

равенство. Решить уравнение –

значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с

модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

Абсолютной

величиной

положительного

числа

a

называется само число.

Абсолютная

величина

отрицательного

числа

a

называется

число

ему

противоположное. Абсолютной величиной числа нуль называется само число

нуль. Абсолютная величина любого действительного числа

a

обозначается

символом

a

и называется модулем.

Используя определение и знак, запишем

+ 9 9

=

,

5(5)5

-=--=

,

0

0

=

.

Отсюда следует, что выражения, содержащие модуль некоторых

величин, будут вычисляться в зависимости от знака этих величин. Для

выражений, содержащих переменную под знаком модуля, можно записать:

,е с л и

0 ,

0, если 0, (1)

,

если 0.

x

x

x

x

x

x

>

�

�

==

�

�

-<

�

.

Второе условие

0,если 0

x

x

==

общепринято объединять с первым или

третьим, тогда формула (1) записывается короче:

,если 0,

,

если 0.

x

x

x

x

x

�

�

=

�

-<

�

(2) или

,если 0,

,

если 0.

x

x

x

x

x

>

�

=

�

-

�

�

(3).

Вариант (2) записи формулы наиболее часто употребляется на практике.

2.Геометрическая

интерпретация

модуля.

Абсолютная величина числа

a

геометрически представляет

расстояние от начала координат до точки

a

. Расстояние никогда не может

быть отрицательным, поэтому важно помнить, что под знаком модуля может

стаять любое число (положительное, отрицательное, нуль), но во всех этих

случаях, сам модуль

-

число неотрицательное.

Например, если

2

x

=

, то

2

есть расстояние от нуля до точки 2, а если

2

x

=-

, то расстояние от нуля до точки

2

-

равно

2

2

-=

. Очевидно, что

2 2 2

-==

.

3. Рассмотрим основные

свойства

модуля.

1.

0

x

�

. Модуль действительного числа неотрицателен.

2.

x

x

-=

,

xyyx

-=-

. Противоположные числа имеют равные модули.

3 .

x x x

-

��

. Действительное число не больше своего модуля и не

меньше минус модуля.

4 .

x

a

�

,

(

)

0

a

>

�

a x a

-

��

.

Неравенство

x

a

�

означает,

что

расстояние от точки x до начала координат (точки 0), не больше числа

a

.

Этим свойством обладают все точки отрезка

[

]

;

a

a

-

.

5.

x

a

>

,

(

)

0

a

>

�

,

x

a

x

a

>

�

�

<

�

. Неравенство

x

a

>

означает, что расстояние от

точки

x до начала координат - точки 0 - больше числа

a

. Этим свойством

обладают все точки из промежутков

(

)

(

)

;

и

;

a

a

-

�

-

�

.

6.

+

xyxy

+

�

. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей.

7.

xyxy

-

�

-

. Модуль разности двух чисел больше или равен модуля

разности их модулей.

8 .

xyxy

�

=

�

. Модуль произведения равен произведению модулей

сомножителей.

9 .

,

где 0

x

x

y

y

y

=

�

. Модуль частного равен частному от деления модуля

числителя на модуль знаменателя при условии, что знаменатель отличен от

нуля.

10.

n

n

x

x

=

. Модуль

n

-ой степени числа равен модулю основания этой

степени, возведённому в

n

-ую степень, для любых натуральных

n

.

Если

n

-

четное,

то

есть,

2

n

k

=

,

то

справедливо

равенство

2

2

,

где

k

k

xxkN

=

�

.

Откуда

имеем:

2

2

,

где

k

k

xxkN

=

�

. Последнее равенство часто

используют в виде:

2

x

x

=

.

4.

Преобразование

выражений

с

модулем.

По определению (или его графической интерпретации) получаем,

например:

1) |7|=7 и |

-

7|=7,

2) |

p

-

3|=

p

-

3, так как

p

> 3, значит

p

-

3 > 0,

3)

3535

+=+

,

4)

1221

=-

-

, так как

1

2

-

< 0.

Аналогично раскрытие модуля происходит и для функций, но при этом

многие учащиеся и обучающиеся

допускают ошибки. Поэтому, полезно

вместе

с

формулой

(2),

запомнить

формулу

(),

если 0,

(

)

( ) , если 0.

f x x

f

x

f x x

�

�

=

�

-<

�

(4)

,

которая является применением формулы (2) к произвольной функции

(

)

f

x

.

Если

(

)

f

x

0

�

для всех

x

из области определения, то знак модуля

просто опускается.

Если

( ) 0

f

x

<

, то при раскрытии модуля используют формулу (4) и

свойства

функции

(

)

f

x

.

Примеры.

1. Раскрыть модуль:

1)

2

2

=

x

x

, так как

2

0

x

�

,

x

R

�

, 2)

4

4

5

5

x

x

+=+

,

4

5 0 ,

x x R

+>

�

,

3)

2 2 2

3434,.. 34

x xxx

ткxx

-+-=-+-+

>0 для

x

R

�

, так как

0

D

<

.

2. Преобразовать выражение.

Пример 1.

2

(13)

-

по свойству 10 и определению модуля получаем

2

(13)

-

1331

=-=-

, так как

1 3 0

-<

.

Пример 2.

526526

--+

по свойству 10 и определению модуля

получаем

526526

--+

=

2

2

(32)(32)

--+

=

3232

--+

=

3232

---

=

2

2

-

, так как

3 2 0

->

и

3 2 0

+>

.

3.Упростить.

Пример 1.

2

1

9

6

1

, при

3

mmm

-+<

.

2

9 6 1

m m

-+

=

2

(31)31

m m

-=-

=

1

3m

-

, так как 3

1

0

m

-<

.

Пример 2.

2

2

10251449

xyxx

-++-+

при

7

x

�

.

2

2

10251449

xyxx

-++-+

=

2

2

(5)(7)

x

x

-+-

=

5

7

x

x

-+-

=

2 1 2

x

-

, так как

5

0

x

->

и

7

0

x

-

�

при

7

x

�

.

5.

Методы

решения

уравнений

с

модулем

1.Решение уравнений с модулем по определению.

Если выражение, стоящее под знаком модуля, является функцией от

x

,

раскрывается модуль с учетом формулы (4).

Пример 1.

Решить уравнение:

5 7 2

x

x

-=-

.

Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем.

5 7 2

x

x

-=-

�

5

,

572;

5

,

572;

x

x

x

x

x

x

�

�

�

�

-=-

�

�

�

<

�

�

�

-=-

�

�

�

�

5

,

312;

5

,

2

;

x

x

x

x

�

�

�

�

=

�

�

�

<

�

�

�

=

�

�

�

�

5

,

4

;

5

,

2

;

x

x

x

x

�

�

�

�

=

�

�

�

<

�

�

�

=

�

�

�

,

2

x

x

��

�

�

=

�

�

2

x

=

.

Ответ: 2.

Пример 2.

Решить уравнение

3 5 .

x

x

=--

Решение:

3

5

x

x

=--

�

0

,

3 5 ;

0

,

3 5 ;

x

x

x

x

x

x

�

�

�

�

=--

�

�

�

<

�

�

�

=+

�

�

�

�

0

,

4 5 ;

0

,

2 5 ;

x

x

x

x

�

�

�

�

=-

�

�

�

<

�

�

�

-=

�

�

�

�

0

,

1,25;

0

,

2 , 5 ;

x

x

x

x

�

�

�

�

=-

�

�

�

<

�

�

�

=-

�

�

�

�

2 , 5

x

=-

.

Ответ: 2,5.

-

2.Решение

уравнений

вида

|f(x)| =a, a

R

�

.

a < 0

|f(x)| = a

уравнение корней не имеет

a = 0

|f(x)| = 0

f(x) = 0

a > 0

|f(x)| = a

(

)

,

(

)

.

f x a

f x a

=

�

�

=-

�

Пример 1. Пример 2. Пример 3.

8.

Решение

8 ,

8 .

Ответ:

8.

x

x

x

=

=

=

�

�

2

7

0

.

Решение

2

7

0

.

2

7

,

2

7

,

3,5.

Ответ: 3,5.

x

x

x

x

x

-=

-=

-

=

=

5 3 .

Решение

5 3 .

2 ,

Ответ: уравнение решений не имеет.

x

x

x

+=

+=

=-

Пример 4.

2

2

2

290.

Решение

290.

290,

при

уравнение корней

не имеет.

Ответ: корней нет

x

x

x

x

x

x

x

R

++=

++=

++>

�

3.Решение

уравнений

вида

()(), ()()

fxfxfxfx

==-

.

(

)

(

)

f x f x

=

�

( ) 0

f

x

�

( ) ( )

f x f x

=-

�

( ) 0

f

x

�

.

Пример 1. Пример 2. Пример 3.

[

)

.

Решение

.

0

.

Ответ: 0;+.

x

x

x

x

x

=

=

�

�

(

]

.

Решение

.

0

.

Ответ: ;0.

x

x

x

x

x

=-

=-

�

-

�

(

]

Решение

5445.

540,

5 4 ,

0 , 8 .

Ответ: ;0,8.

x

x

x

x

x

-=-

-

�

�

�

-

�

Пример 4.

2

2

2

2

2

2

10211021

.

12321232

Решение

1021

0

,

1232

(3)(7)

0

.

(4)(8)

xxxx

xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

-+-+

=-

-+-+

-+

�

-+

--

�

--

Решая его методом интервалов находим решение исходного уравнения

объединение промежутков

[

)

[

)

3 ; 4 и 7;8

.

Ответ:

[

)

[

)

3;47;8

U

.

4.Решение

уравнений

вида

( ) ( )

fxgx

=

.

По определению модуля

действительного числа уравнение

( ) ( )

fxgx

=

равносильно совокупности

( ) 0 ,

()();

( ) 0 ,

()().

f

x

fxgx

f

x

fxgx

�

�

�

�

=

�

�

�

<

�

�

�

=-

�

�

�

Уравнение

( ) ( )

fxgx

=

равносильно смешанной системе

( ) 0 ,

()(),

()().

g

x

fxgx

fxgx

�

�

�

=

�

�

�

�

=-

�

�

Если в уравнении

( ) ( )

fxgx

=

функция

(

)

f

x

имеет более простой вид,

чем

(

)

g

x

, то удобно уравнение заменить первой совокупностью систем, а

если более простой вид имеет функция

(

)

g

x

, то уравнение целесообразно

заменить смешанной системой.

Пример 1. Решите уравнение

2

3

3

x x x

+=--

.

Решение:

2

3

3

x x x

+=--

�

2

2

3 0 ,

3 3 ;

3 0 ,

3 3 ;

x

x x x

x

x x x

�

+

�

�

�

�

+=--

�

�

�

+<

�

�

�

�

+=+

�

�

�

2

2

3

,

430;

3

,

230;

x

x

x

x

x

x

� �

-

�

�

�

++=

�

�

�

<-

�

�

�

�

+-=

�

�

�

3

,

1

,

3

;

3

,

3

,

1

;

x

x

x

x

x

x

�

-

�

�

�

=-

�

�

�

�

�

�

=-

�

�

�

�

<-

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

=-

�

�

�

�

1

,

3

.

x

x

=-

�

�

=-

�

Ответ: 1;3.

--

Пример 2. Решите уравнение

|

x

3

−

3 x

+

1

|

=3 x

+

1

.

Решение:

3

3

3

3

1

,

3

310,

= 0 ,

= 0 ,

|31|=31

31=31,

= 6 ,

= 6 .

31=31,

= 6 ,

= 2 ,

x

x

x

x

x x x

x x x

x

x

x x x

x

x

�

�

-

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

�

-++

���

�

-++

��

�

�

�

�

��

-+--

�

�

�

�

-

�

�

�

-

�

�

�

Ответ: 0;

6

.

5. Решение

уравнений

вида

( ) ( )

fxgx

=

.

Равенство

двух

модулей

возможно,

если

выражения

равны

или

противоположны, значит уравнение равносильно совокупности уравнений:

Пример 1. Решить уравнение

7571 x

x

-=+

.

Решение:

7571 x

x

-=+

7577,120,0,

7577;214;7.

Ответ: 0;7.

xxxx

xxxx

-=+==

���

���

���

-=--=-=-

���

-

( ) ( )

fxgx

=

�

()(),

( ) ( )

fxgx

fxgx

=

�

�

=-

�

Пример 2. Решите уравнение

2

3 1 3

x

x

-=-

.

Решение:

2

3 1 3

x

x

-=-

�

2

2

2

2

4 , 1 ,

313,340,

.

3 1 7

331;320;

2

3 1 7

Ответ: 4; 1; .

2

x

x

xxxx

xxxx

x

=-=

�

��

-=-+-=

�

��

��

�

�

-=---=

=

��

�

�

�

-

6. Решение

уравнений

вида

( ) ( )

fxgx

=

.

Метод

замены

переменной.

Уравнение равносильно совокупности систем

Пример 1. Решить уравнение

2

6

0

x

x

+-=

.

Решение:

2

6

0

x

x

+-=

�

2

2

0

,

0

,

60;3, 2;

2

,

2

.

0

,

0

,

2, 3;

6 0 ;

x

x

xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

� �

�

�

�

�

�

�

�

+-==-=

=

�

��

�

�

��

�

�

�

=-

<

<

��

�

�

�

�

�

=-=

�

--=

�

�

�

�

�

Ответ:

2; 2

-

.

Второй способ решения

уравнений вида

( ) ( )

fxgx

=

, в которых

переменная встречается только в модуле и четной степени, удобно решать,

используя метод

замены

переменной.

Применим

к

данному

уравнению

метод замены переменной.

( ) ( )

fxgx

=

�

0

,

()();

0

,

()().

x

fxgx

x

fxgx

�

�

�

�

=

�

�

�

<

�

�

�

=-

�

�

�

Решите уравнение

2

6

0

x

x

+-=

. Решение:

2

6

0

x

x

+-=

. Сделаем замену

,

0

x t

t

=

�

. Тогда

2

2

2

x x x

==

и уравнение примет вид

2

6

0

t

t

+-=

Получаем

2

0

,

0

,

2

3

,

6 0 ;

2

;

t

t

t

t

t

t

t

�

�

�

�

�

��

=

=-

�

��

+-=

�

�

�

=

�

�

.

Вернемся к замене

2 2.

Ответ: 2.

x

x

=

�

=

�

�

Решение получается короче предыдущего, что в условиях экзамена

дает преимущество во времени.

Пример 2. Решите уравнение

2

2

3

0

x

x

x

-=

. Решение:

2

2

3

0

x

x

x

-=

.

Пусть

,

0

x t

t

=>

, получаем

2

2

2

3

0, 3,

3 0 ,

0

,

3.

0

;

0

;

0

;

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

�

==

�

-=

�

-=

�

���

=

���

>

>

�

�

�

>

�

3 3.

Ответ: 3.

x

x

=

�

=

�

�

7.Р е ш е н и е

у р а в н е н и й

в и д а

1

2

()()...()()

n

fxfxfxgx

+++=

,

гд е

1

2

(), ()...()

n

fxfxfx

некоторые

функции.

Метод

интервалов

.

В тех случаях, когда модулей в уравнении несколько, существует

универсальный прием, существенно сокращающий процедуру

раскрытии

модуля,

и

делающий

решение

задачи

менее

перегруженным.

Это

метод

интервалов, суть которого состоит в следующем. (21)

1.Находят «нули» подмодульных выражений.

2.Полученные точки разбивают область допустимых значений

уравнения на промежутки.

На каждом промежутке находят знаки подмодульных выражений.

3.Используя определение абсолютной величины, переходят от уравнения

к совокупности систем, не содержащих знака модуля.

План решения уравнений с модулем методом интервалов.

1. Найти ОДЗ (область допустимых значений) уравнения.

2. Найти нули выражений, стоящих под знаком модуля.

3. Разбить область допустимых значений уравнения на интервалы.

4. Найти решение уравнения на каждом интервале и проверить, входит

ли полученное решение в рассматриваемый интервал.

5.Записать корни уравнения, учитывая все полученные значения

переменной.

Пример 1. Решите уравнение

38326

x

x

---=

.

Решение:

38326

x

x

---=

.1.Подмодульные выражения обращаются в

нуль при

8

2

и

3

3

x

x

==

. Эти точки разбивают область допустимых значений

на три промежутка.

2.Найдем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке

2

3

x

<

2

8

3

3

x

�

<

8

3

x

�

3

8

x

-

-

-

+

3

2

x

-

-

+

+

3.Переходим к совокупности систем

.

2

2

,

,

3

3

6 6 ;

(38)(32)6;

2

8

2

8

,

,

2

3

3

3

3

2

3

(38)(32)6;

;

3

8

8

,

,

3

3

(38)(32)6;

6 6 ;

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

�

�

�

<

�

�

�

<

�

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

--+-=

�

�

�

�

�

�

�

<

�

�

�

�

<

��

�

�

ۣ

�

��

�

�

��

----=

�

=

�

�

�

�

�

�

�

�

>

�

�

�

>

�

�

�

�

�

�

�

---=

�

�

�

�

�

-=

�

�

.

2

Ответ: ;

3

��

-

�

�

�

��

.

Пример 2. Решите уравнение

1232

x x x

-+-+-=

.

Решение:

1232

x x x

-+-+-=

.

1.Нули:

1, 2, 3

x x x

===

.

2. Найдем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.

1

,

1

,

1

1

;

1232;

4

1 2 ,

1 2 ,

2

;

1232;

2.

2 3 ,

2 3 ,

2

;

1232;

3

,

3

,

2

1232;

2

;

3

x

x

x

x x x

x

x

x

x x x

x

x

x

x

x x x

x

x

x x x

x

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

�

�

-+-+-=

�

�

�

�

�

�

�

<

�

<

�

�

�

�

�

�

�

=

-+-+-=

�

�

�

��

=

�

�

�

<

�

<

�

�

�

�

�

�

�

�

=

-+-+-=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-+-+-=

�

�

�

=

�

�

�

�

Ответ: 2.

8. Решение

уравнений,

содержащих

модуль

в

модуле

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится

выражение,

также

содержащие

модуль,

следует

сначала

освободиться

от

внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся

модули.

Пример 1. Решить уравнение:

4 2 4

x x x

---=

.

Решение:

4 2 4

x x x

---=

. Данное уравнение равносильно совокупности

двух систем:

4 0 ,

(4)24;

4 0 ,

(4)24;

x

x x x

x

x x x

�

-

�

�

�

�

�

---=

�

�

�

�

-<

�

�

�

�

�

+--=

�

�

�

�

4

,

2424;

4

,

2 0 ;

x

x

x

x

x

�

�

�

�

�

--=

�

��

�

>

�

�

�

�

-=

�

�

Вторая система совокупности решений не имеет решений, а первая

система равносильна совокупности двух следующих систем.

1

2x

�

<

2

3x

�

<

3

x

�

1

x

-

+

+

+

2

x

-

-

-

+

+

3

x

-

-

-

+

4

,

240,

(24)24;

4

,

240,

(24)24;

;

x

x

x

x

x

x

x

x

x

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

--=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-<

�

�

�

�

�

�

---=

�

�

�

��

�

�

�

4

,

2

,

4 4 ;

4

,

2

,

0

;

x

x

x

x

x

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-=

�

�

�

�

�

�

�

<

�

�

�

�

=

�

�

�

0

x

=

. Ответ: 0.

Пример 2. Решить уравнение:

2122

x

---=

.

Решение. По определению абсолютной величины, имеем:

2122,

2122;

x

x

�

---=

�

�

---=-

�



214, (1)

210;

(2)

x

x

�

--=

�

�

--=

�

Решим первое уравнение.

2 1 4

x

--=



214,

214;

x

x

�

--=

�

�

--=-

�

2 5 ,

2

3

;

решений нет.

x

x

�

-=

�

�

-=-

�

�

2 5 ,

2

5

; решений нет

x

x

�

-=

�

-=-

�

�

�

7

,

x

=

�

7

x

=

�

.

Решим второе уравнение.

2 1 0

x

--=

�

2

1

x

-=

�

2 1 ,

2 1 ;

x

x

�

-=

�

-=-

�

�

�

3

,

1

;

x

x

�

=

�

=

�

�

�

3

,

1

.

x

x

=

�

�

�

=

�

�

Объединяя решения, получаем:

1

x

=

�

,

3

x

=

�

,

7

x

=

�

.

Ответ:



1;



3;



7.

9.Решение

уравнений

с

использованием

тождества

2

a

a

=

.

Пример 1.

2

2

1025449

xyxx

-++-+=

.

2

2

1025449

xxxx

-++-+=

.

Применив тождество

2

f

f

=

, запишем

5 2 9

x

x

-+-=

.

Применяя метод интервалов, получаем

8

x

=

и

1

x

=

.

Ответ:

8

x

=

,

1

x

=

.

Пример 2.

2

2

21696

xxxx

+++-+=

.

2

2

21696

xxxx

+++-+=

.

Применив тождество

2

f

f

=

, запишем

1 3 6

x

x

++-=

.

Решая, получаем

4

x

=

и

2

x

=

.

Ответ:

4

x

=

и

2

x

=

.

6.

Графическое

решение

уравнений

с

модулем.

Перевод

алгебраической задачи на геометрический язык

- это

удобный метод решения

простейших

уравнений и неравенств, которыми

заканчивается практически каждая сложная задача. Их решение может быть

достаточно быстро получено из геометрической интерпретации.

Графически модуль числа

a

– это расстояние от точки

a

на числовой

оси

до нуля.

Рассмотрим простейшее уравнение

7

x

=

.

На числовой оси есть две точки, расстояние от которых до нуля равно

7. Это точки

7

-

и 7. Значит, уравнение имеет два решения

7

x

=-

,

7

x

=

.

Ответ:

7

-

, 7.

Если есть два числа

и

a

b

, то геометрически, модуль разности |a-b|

представляет собой

расстояние между двумя этими точками. Видно, что

расстояние

abba

-=-

.

1. Решение

уравнений

вида

xaxbc

-+-=

.

1.Если в уравнении

xaxbc

-+-=

,

a b c

-<

, то решение находится вне

отрезка

[

]

;

a

b

.

2. Если

a b c

-=

, то отрезок

[

]

;

a

b

будет решением уравнения.

3.Если

a b c

->

, то уравнение решений иметь не будет.

Пример 1.Решить уравнение

8

5

x

-=

.

Эту запись можно прочесть так: расстояние от точки

x

до точки 8

равно 5. Отметим на числовой оси точки, удовлетворяющие этому условию:

Из рисунка видно, что уравнение имеет два решения

3

x

=

и

1

3

x

=

.

Ответ: 3; 13.

Пример 2. Решить уравнение

2 3 4

x

-=

.

Решение. На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки

1 и

-

7, а

2x

есть

одна из них.

Следовательно,

2x

=

1

-

или

2x

=7. Значит

x

= – 0,5 и

x

= 3,5. Ответ: –

0,5; 3,5.

Пример 3. Решите уравнение

2

3

x

x

-=-

.

Решение: учитывая, что расстояния от точки

x

до точек 2 и 3 равны

получаем

2

3

2 , 5

2

x

+

==

.

Ответ: 2.5.

Пример 4. Решить уравнение

3 2 1

x

x

-+-=

.

На языке геометрии задача звучит так: найти множество точек

x

,

сумма расстояний от каждой из которых до точек 2 и 3

было равно 1.

Заметим, что расстояние между точками 2 и 3 равно 1, следовательно, любая

точка отрезка

[

]

2 ; 3

являются решением уравнения, и ни одна из точек вне

отрезка

[

]

2 ; 3

этим свойством не обладает. Ответ:

[

]

2 ; 3

.

2. Решение

уравнений

вида

xaxbc

---=

.

1.Если

a b c

-=

, то при

a

b

<

,

[

)

;

x

b

�

+

�

, а при

a

b

>

,

(

]

;

x

b

�

-

�

.

2.Если

a b c

->

, то решение лежит внутри отрезка

[

]

;

a

b

.

3.Если

a b c

-<

, то решений нет.

Пример 1. Решить уравнение

1 2 1

x

x

---=

.

Решение.

Левая

часть

уравнения

представляет

собой

разность

расстояний от точки

x

до двух точек 1 и 2 равную единице. Эти точки

расположены на координатной оси правее числа 2. Ответ:

[

)

2

;

+

�

Пример 2. Решить уравнение

5 2 3

x

x

---=

.

Решение. Чтобы решить его, нужно на числовой оси

O x

найти все такие

точки,

для

каждой

из

которых

разность

расстояний

от

нее

до

точки

с

координатой (5) и расстояние от нее до точки с координатой (2) равнялось 3.

Длина отрезка |5 – 2| = 3, значит любая точка (

x

) левее точки (2) будет

решением уравнения, т. е.

x



(

]

;

2

-

�

.

Решением уравнения

5 2 3

x

x

---=

будет любая точка (х) правее точки

(5) вместе с этой точкой, т. е.

x



[

)

5

;

+

�

. Ответ:

[

)

5

;

+

�

.

6.1. Графический метод решения уравнений, содержащих знак

модуля

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является

графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить

графики

данных

функций.

В

случае,

если

графики

пересекутся,

точки

пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В

случае,

если

графики

не

пересекутся,

мы

сможем

сделать

вывод,

что

уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют

для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает

достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты,

полученные при построении графиков, не всегда являются точными. (34)

Построение

функций,

содержащих

знак

модуля,

выполняется

с

помощью исследования функции.

Построение

графика

функции

(

)

у f x

=

Раскроем модуль по определению

( ) , при 0,

(

)

, при 0.

f x x

у

f x x

�

�

=

�

-<

�

График функции

(

)

у f x

=

состоит из двух графиков:

(

)

у f x

=

- в правой

полуплоскости,

(

)

у f x

=-

- в левой полуплоскости. Функция

(

)

у f x

=

является

четной, так как

( ) ( )

yxyx

-=

, следовательно, график функции симметричен

относительно оси ординат.

Исходя из этого, можно сформулировать правило.

График функции

(

)

у f x

=

получается из графика функции

(

)

у f x

=

преобразованием.

1. Строим график функции

(

)

у f x

=

.

2. График функции

(

)

у f x

=

, там где

0

x

�

, сохраняем, а часть графика

при

0

x

<

, отображаем симметрично относительно оси

O Y

.

Пример 1. Построить график функции

y

x

=

.

1.Раскроем модуль по определению

,

при 0,

,

при 0.

x

x

у

x

x

�

�

=

�

-<

�

2.Строим график функции

y

x

=

на промежутке где

0

x

�

и график

функции

y

x

=-

на промежутке где

0

x

<

.

Получаем график.

Пример 2. Построить график функции

2

4

3

y x x

=-+

.

1.Строим график функции

2

4

3

y x x

=-+

.

2. График, где

0

x

�

сохраняем, а часть графика где

0

x

<

, отображаем

симметрично относительно оси

O Y

. Получаем график

Построение

графика

функции

(

)

у f x

=

Раскроем модуль по определению

( ) , если ()0,

( ) , если ()0.

f x f x

y

f x f x

�

�

=

�

-<

�

Отсюда вытекает алгоритм построения графика функции

(

)

у f x

=

.

а) Строим график функции

(

)

y f x

=

.

б) Часть графика

(

)

y f x

=

, лежащая над осью

О X

где

0

y

�

, сохраняется,

часть графика, лежащая под осью абсцисс, где

0

y

<

, отображается

симметрично относительно оси

О X

.

Пример 1. Построить график функции

2

2

y

x

=-

.

Построение с помощью исследования функции.

1. Исследуем функцию. Воспользуемся определением модуля

( ) , если ()0,

( ) , если ()0.

f x f x

y

f x f x

�

�

=

�

-<

�

2.Строим график функции

2

2

y

x

=-

на промежутке где

1

x

�

и график

функции

2

2

y

x

=-+

на промежутке где

1

x

<

.

Пример 2. Построить график функции

2

4

3

y x x

=-+

.

1.Строим график функции

2

4

3

y x x

=-+

.

2.

График

функции

2

4

3

y x x

=-+

, лежащий в верхней полуплоскости,

оставляем без изменений, а лежащий в нижней полуплоскости отображаем

вверх симметрично относительно оси

О X

. Получаем график функции.

Построение

графика

функции

1

2

()()...()

n

yfxfxfx

=+++

При построении графиков такого вида используются способы:

1.метод исследования, когда знак модуля открывается по определению

модуля;

2. метод алгебраических операций сложения, вычитания.

Пример 1. Построить график функции

2

3

y x x

=++-

.

Выполним построение методом исследования.

Нули «подмодульных» выражений

2

x

=-

и

3

x

=

разбивают числовую ось

на три промежутка. Исследуем поведение функции на этих промежутках.

2

1

, при 2;

5, при 23;

2

1

, п р и

3 .

y x x

y y x

y x x

=-+<-

�

�

==-

�

<

�

�

=+

�

�

Получаем график кусочно - линейной функции. Данная функция

неотрицательна, то есть график функции расположен выше оси абсцисс.

Пример 2. Построить график функции

1

y x x

=-+

.

Применим метод алгебраических операций. Обычно не прибегают к

вычитанию графиков, а строят два графика:

y

x

=

и

1

y

x

=-+

. Затем находят

суммы ординат точек графиков этих функций при одних и тех же значениях

x

. Так как сумма линейных функций есть линейная функция, то достаточно

найти суммы ординат угловых точек, то есть при

1

x

=-

и

0

x

=

, и по одной

точку при

1

x

<-

и

0

x

>

.

Графический

способ

решения

уравнений

с модулем.

Решить уравнение

( ) ( )

fxgx

=

- значит, найти все значения

x

, для

которых значения функций

(

)

y f x

=

и

(

)

y g x

=

равны, то есть найти абсциссы

всех точек пересечения графиков этих функций. Если графики не имеют

общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует отметить, что результат,

полученный при построении графиков, не всегда является точным. Поэтому

решение, найденное графически, требует проверки.

Пример 1. Решите графически уравнение

2

5660

x x x

---+=

.

Решение. Представим уравнение в виде

2

5 6 6

x x x

-+=-

. Построим в

одной системе координат графики функций

2

5

6

y x x

=-+

и

6

y

x

=-

. Найдем

абсциссы точек пересечения двух графиков.

Из чертежа видно, что графики имеют три общих точки с абсциссами

1

6

x

=-

,

2

0

x

=

,

3

4

x

=

. При подстановке корней в уравнение получаем верные

числовые равенства. Ответ: -6, 0, 4.

Одним из методических приемов организации повторения темы

«Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля»

является

применение

системы

специально

сконструированных

решений

таких

уравнений

и

неравенств

с

различными

ошибками,

недочетами,

неточностями.

Это

позволит

не

только

повторить,

но

и

скорректировать

знания и умения, так как в процессе такой работы «сильные» ученики смогут

получить новые знания, а «слабые» - ликвидировать пробелы и постепенно

подтянуться к «сильным».

Каждая тема в каждом блоке предваряется необходимой справочной

информацией, представленной в максимально сжатой форме. Затем подробно

разбирается несколько примеров, затем идут тренировочные упражнения,

которые

даются

в

традиционной

форме.

Изучение

темы

должно

заканчиваться

выполнением

самостоятельной

(практической)

работы

контролирующего характера.

Таким образом, рассмотренные методические приемы организации

повторения и коррекции имеют следующие достоинства:

1) поддерживается интерес к излагаемому материалу у всех учеников,

независимо от уровня их подготовки;

2)

воспитываются

самоконтроль

и

критическое

отношение

к

излагаемому материалу;

3) вырабатываются необходимые навыки и алгоритмы поиска ошибок и

недочетов в собственных рассуждениях и выкладках.